Question

【题目】如图，ABCD的对角线、交于点，顺次联结ABCD各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①⊥；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）

A. 1个；B. 2个；

C. 3个；D. 4个．

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．

解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件；

②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=DO．

∵C△ABO=C△CBO，∴AB=BC．

根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；

③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO=∠ADO．

∵∠DAO=∠CBO，∴∠ADO=∠DAO．

∴AO=OD．

∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；

④∵∠DAO=∠BAO，BO=DO，

∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，

∴新四边形是矩形．符合条件．

所以①②④符合条件．

故选：C．