Question

【题目】如图，是⊙的直径，，点、在⊙上，、的延长线交于点，且，，有以下结论：①；②劣弧的长为；③点为的中点；④平分，以上结论一定正确的是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠CBE＝∠ADE，根据等边对等角得出∠CBE＝∠E，等量代换即可得到∠ADE＝∠E；

②根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠A＝∠BCE＝70，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠AOB＝40，再根据弧长公式计算得出劣弧的长；

③根据圆周角定理得出∠ACD＝90，即AC⊥DE，根据等角对等边得出AD＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠DAC＝∠EAC，再根据圆周角定理得到点C为的中点；

④由DB⊥AE，而∠A≠∠E，得出BD不平分∠ADE．

①∵ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠CBE＝∠ADE，

∵CB＝CE，

∴∠CBE＝∠E，

∴∠ADE＝∠E，故①正确；

②∵∠A＝∠BCE＝70，

∴∠AOB＝40，

∴劣弧的长＝，故②正确；

③∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90，即AC⊥DE，

∵∠ADE＝∠E，

∴AD＝AE，

∴∠DAC＝∠EAC，

∴点C为的中点，故③正确；

④∵DB⊥AE，而∠A≠∠E，

∴BD不平分∠ADE，故④错误．

所以正确结论是①②③．

故答案为①②③．