Question

16．已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标及△ABP的周长．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标，AB+BC的值就是△ABP的周长最小值．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{0=a+4+c}\\{-5=c}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$．
∴二次函数的表达式为y=x²-4x-5．

（2）令y=0，得二次函数y=x²-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）；
由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=x-5；
把x=2代入得，y=2-5=-3，
所求的点P的坐标为（2，-3），
△ABP的最小周长为：AB+BC=$\sqrt{26}$+5$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键．