Question

【题目】如图，已知四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．

（1）求证：DE=OE；

（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

(1)先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠3=∠COD=∠DEO=60°，根据平行线的性质得到∠4=∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO=∠CDO=90°，于是得到结论；

(1)如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD，
∴DE=OE；
(2)∵OD=OE，
∴OD=DE=OE，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，
∴∠2=∠1=30°，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，
∴∠BOC=∠DOC=60°，

在△CDO与△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；