Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点M、N分别为AD、BC的中点，点E、F分别是BM、CM的中点.

(1)求证:△ABM≌△DCM.

(2)四边形MENF是什么图形?请证明你的结论.

(3)若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系?请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形MENF是菱形，理由见解析；（3）MN=BC.，理由见解析；

【解析】

（1）已知四边形ABCD为等腰梯形，推出AB=CD，∠A=∠D，AM=DM故可证明三角形全等．

（2）由1证明的三角形全等和三角形中位线定理可得出各边之间的关系，推出四边形MENF是菱形．

（3）由梯形的性质及四边形MENF是正方形推出MN⊥BC，即可得MN=BC．

(1)∵ABCD为等腰梯形，

∴AB=DC，∠A=∠D.

∵M是AD中点，

∴AM=DM.

∴△ABM≌△DCM.

(2)四边形MENF是菱形，

由△ABM≌△DCM，得MB=MC，

∵E、F. N是MB、MC、BC的中点，

∴ME=BM,MF=MC,NF=BM,NE=MC.

∴ME=MF=FN=NE.

∴四边形MENF是菱形.

(3)梯形的高等于底边BC的一半，理由：连接MN，

∵MENF是正方形，

∴∠BMC=90°.

∵MB=MC，N是中点，

∴MN⊥BC且MN=BC.