已知:正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式,(2)第一象限内.当反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值大于正比例函数y=ax的值时.求x的取值范围?在第一象限且为反比例函数图象上的两动点.过点M作直线MB∥x轴.交y轴于点B,过点A作直线AC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

已知：正比例函数y=ax（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于点（2，2$\sqrt{2}$+2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）第一象限内，当反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值大于正比例函数y=ax的值时，求x的取值范围？
（3）如图，M（m，n）、A（n，m）在第一象限且为反比例函数图象上的两动点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当∠MOA=45°时，求M点坐标．

分析（1）将点（2，2$\sqrt{2}$+2）代入两个函数解析式即可．
（2）观察两个函数图象的位置，反比例函数图象在上面，即可写出答案．
（3）将△OMB绕点O顺时针旋转90°得到△OCE，连接AM，只要证明AM=BM+AC，列出关于m、n的方程即可解决．

解答解：（1）把点（2，2$\sqrt{2}$+2）分别代入正比例函数和反比例函数解析式得：
2$\sqrt{2}$+2=2a，解得a=$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$+2=$\frac{k}{2}$，解得k=4$\sqrt{2}$+4，
所以正比例函数解析式为：y=（$\sqrt{2}$+1）x，
反比例函数解析式：y=$\frac{4\sqrt{2}+4}{x}$．
（2）当0＜x＜2时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值大于正比例函数y=ax的值．
（3）因为M（n，m），A（m，n），可知：四边形BOCD为正方形，又∠MOA=45°，
将△OMB绕点O顺时针旋转90°得到△OCE，连接AM．
∵∠BOM+∠AOC=45°，∠BOM=∠EOC，OE=OM．BM=CE，
∴∠AOC+∠EOC=45°=∠MOA，
在△OAM和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{∠AOM=∠AOE}\\{OOE}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OAE，
∴AM=AE=AC+CE=AC+BM
又∵BM=m，AC=m，
∴AM=2m，MD=n-m=DA，
∴三角形MDA是等腰三角形，MA=$\sqrt{2}$MD即2m=$\sqrt{2}$（n-m） ①，
又∵M点在反比例函数图象上，
∴mn=4$\sqrt{2}$+4 ②，
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，
∴M（2，2$\sqrt{2}$+2）．

点评本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点，学会待定系数法求函数解析式，能根据图象由函数值的大小确定自变量的取值范围，第三个问题添加辅助线是解决问题的关键，属于中考常考题型．

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