Question

18．如图，等腰Rt△ABC的斜边BC在x轴上，顶点A在反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，则OC²-OB²的值为16．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征可设A（t，$\frac{4}{t}$），则根据等腰直角三角形的性质得到AH=BH=CH=$\frac{4}{t}$，所以OC+OB=$\frac{8}{t}$，OC=$\frac{4}{t}$+t，OB=$\frac{4}{t}$-t，则OC-OB=2t，
然后利用平方差公式得到OC²-OB²=（OC+OB）（OC-OB），再利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：作AH⊥BC于H，如图，设A（t，$\frac{4}{t}$），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AH=BH=CH，即BH=AH=$\frac{4}{t}$，
∴OC+OB=BC=$\frac{8}{t}$，OC=CH+OH=$\frac{4}{t}$+t，OB=BH-OH=$\frac{4}{t}$-t，
∴OC-OB=2t，
∴OC²-OB²=（OC+OB）（OC-OB）=$\frac{8}{t}$×2t=16．
故答案为16．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．