Question

6．如果矩形的4个顶点分别在原点、反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象、x轴和y轴上，那么这个矩形称为反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象的伴随矩形．如图（a），矩形AEOF，正方形BGOH都是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）图象的伴随矩形．
（1）当k=6时，①伴随矩形的面积等于6；②在图（b）中用尺规作图的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上作出一个点P，使OP=2$\sqrt{3}$；
（2）在图（a）中画直线AB分别交x轴，y轴于点C，D，得图（c），求证：DB：DA=CA：CB；
（3）由DB：DA=CA：CB，你还能得出什么更进一步的结论？请直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）①由矩形的性质和面积得出OE•AE=k=6；②作出第一象限角的平分线，与反比例函数图象的交点即为点P；
（2）由正方形和矩形的性质证明△BDG∽△ADF，△ACE∽△BCH，得出比例式，由伴随矩形的面积相等，即可得出结论；
（3）由（2）容易得出结论：伴随矩形的面积=k（k＞0）．

解答 （1）解：①∵四边形AEOF是矩形，
∴∠AEO=∠EOF=∠OFA=∠EAF=90°，AE=OF，OE=AF，
∵矩形AEOF的面积=OE•AE，OE•AE=k=6，
∴伴随矩形AEOF的面积=6；
②如图所示：
作出第一象限角的平分线，与反比例函数图象的交点即为满足条件的点P；
（2）证明：由（1）①得：正方形BGOH的面积=矩形AEOF的面积=6，
∴BG•BH=AE•AF=6，
∴$\frac{BG}{AF}=\frac{AE}{BH}$，
∵四边形BGOH是正方形，四边形AEOF是矩形，
∴BG=BH，BG∥AF，AE∥BH，
∴△BDG∽△ADF，△ACE∽△BCH，
$\frac{DB}{DA}=\frac{BG}{AF}$，$\frac{CA}{CB}=\frac{AE}{BH}$，
∴$\frac{DB}{DA}=\frac{CA}{CB}$；
（3）解：得出更进一步的结论：伴随矩形的面积=k（k＞0）；理由如下：
∵DB：DA=CA：CB，
由（2）得：$\frac{DB}{DA}=\frac{BG}{AF}$，$\frac{CA}{CB}=\frac{AE}{BH}$，
∴$\frac{BG}{AF}=\frac{AE}{BH}$，
∴BG•BH=AE•AF=6，
即伴随矩形的面积=k（k＞0）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了矩形的性质、矩形面积的计算、尺规作图、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要证明两对三角形相似得出比例式才能得出结论．