【题目】如图,抛物线与直线相交于,两点,且抛物线经过点
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A. 点B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E.当PE=2ED时,求P点坐标;
(3)点P是直线上方的抛物线上的一个动点,求的面积最大时的P点坐标.
【答案】(1)y=x2+4x+5(2)P点坐标为(2,9)或(6,7);(3)P(,).
【解析】
(1)先由点B在直线y=x+1上求出点B的坐标,再利用待定系数法求解可得;
(2)可设出P点坐标,则可表示出E、D的坐标,从而可表示出PE和ED的长,由条件可知到关于P点坐标的方程,则可求得P点坐标;
(3)连接AP,BP,根据S= S+ S=,根据二次函数性质得到最大值,即可求出P点坐标.
解:(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上,
∴m=4+1=5,
∴B(4,5),
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得
,
解得
,
∴抛物线解析式为y=x2+4x+5;
(2)设P(x,x2+4x+5),则E(x,x+1),D(x,0),
则PE=|x2+4x+5(x+1)|=|x2+3x+4|,DE=|x+1|,
∵PE=2ED,
∴|x2+3x+4|=2|x+1|,
当x2+3x+4=2(x+1)时,解得x=1或x=2,但当x=1时,P与A重合不合题意,舍去,
∴P(2,9);
当x2+3x+4=2(x+1)时,解得x=1或x=6,但当x=1时,P与A重合不合题意,舍去,
∴P(6,7);
综上可知P点坐标为(2,9)或(6,7);
(3)∵点P是直线上方的抛物线上的一个动点,
设(x,x2+4x+5),则E(x,x+1),D(x,0),
则PE=x2+4x+5(x+1)=x2+3x+4,
∴= S+ S==
=
∴当x=,的面积最大
把x=代入y=x2+4x+5,解得y=
故P(,).
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【题目】如图,已知抛物线经过点、.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标;
(2)若点在抛物线上,且点的横坐标为8,求四边形的面积
(3)定点在轴上,若将抛物线的图象向左平移2各单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点在新的抛物线上运动,求定点与动点之间距离的最小值(用含的代数式表示)
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论:①AB=;②当点E与点B重合时,MH=;③AF+BE=EF;④MGMH=,其中正确结论为( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
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【题目】如图,抛物线与直线分别相交于,两点,且此抛物线与轴的一个交点为,连接,.已知,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴上找一点,使的值最大,并求出这个最大值;
(3)点为轴右侧抛物线上一动点,连接,过点作交轴于点,问:是否存在点使得以,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】投资8000元围成一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造,墙长35m,平行于墙的边的费用为100元/m,垂直于墙的边的费用为250元/m,设平行的墙的边长为xm.
(1)设垂直于墙的一边长为ym,直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)若菜园面积为300m2,求x的值;
(3)求菜园的最大面积.
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【题目】如图,O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点,将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°,得到△A1B1C1,则图中阴影部分的面积为_____.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;
(2)选择(1)中一对加以证明.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线交于点O,点E是菱形外一点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形DECO是矩形;
(2)连接AE交BD于点F,当∠ADB=30°,DE=3时,求菱形ABCD的面积.
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