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【题目】如图,抛物线与直线相交于两点,且抛物线经过点

1)求抛物线的解析式;

2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A. B重合),过点P作直线PDx轴于点D,交直线AB于点E.PE=2ED时,求P点坐标;

3)点P是直线上方的抛物线上的一个动点,求的面积最大时的P点坐标.

【答案】1y=x24x52P点坐标为(29)或(67);(3P.

【解析】

1)先由点B在直线yx1上求出点B的坐标,再利用待定系数法求解可得;

2)可设出P点坐标,则可表示出ED的坐标,从而可表示出PEED的长,由条件可知到关于P点坐标的方程,则可求得P点坐标;

3)连接AP,BP,根据S= S+ S=,根据二次函数性质得到最大值,即可求出P点坐标.

解:(1)∵点B4m)在直线yx1上,

m415

B45),

ABC三点坐标代入抛物线解析式可得

解得

∴抛物线解析式为yx24x5

2)设Pxx24x5),则Exx1),Dx0),

PE|x24x5x1||x23x4|DE|x1|

PE2ED

|x23x4|2|x1|

x23x42x1)时,解得x1x2,但当x1时,PA重合不合题意,舍去,

P29);

x23x42x1)时,解得x1x6,但当x1时,PA重合不合题意,舍去,

P67);

综上可知P点坐标为(29)或(67);

3P是直线上方的抛物线上的一个动点,

设(xx24x5),则Exx1),Dx0),

PEx24x5x1)=x23x4

= S+ S==

=

x=的面积最大

把x=代入yx24x5,解得y=

P.

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