Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，CD＝4CF，下列结论：

（1）∠BAE＝30°；

（2）AE⊥EF；

（3）AE＝2EF,其中正确的个数为（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据正方形性质、相似三角形应用以及三角函数逐一求证即可

解：如图所示：

（1））∠BAE＝30°是错误的，其原因如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°

又∵E是BC的中点，

∴BE＝CE＝BC＝AB，

又∵在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，

tan30°＝，

∴

∴∠BAE＜30°，

∴（1）不正确；

（2）AE⊥EF是正确的，其原因如下：

∵CD＝4CF，

∴CD＝2CE，

∵，∠B＝∠C＝90°，

∴△ABE∽△ECF，

∴∠BAE＝∠CEF，

又∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠AEB+∠CEF＝90°，

又∵∠BEA+∠AEF+∠CEF＝180°，

∴∠AEF＝90°，

∴AE⊥EF，

∴（2）正确．

（3）AE＝2EF正确，其原因如下：

∵由（2）可知△ABE∽△ECF，

∴

∴AE＝2EF，

所以③正确；

综合所述，（2）（3）正确．

故选：C．