Question

如图所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒：
（1）直接写出直线OC的解析式；
（2）当t=3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S_△BCD=6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（4）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP=

2

，CP=2，∠OPA=135°，直接写出此时AP的长度．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据正方形的性质可得∠AOC=45°，然后写出直线OC的解析式即可；
（2）求出OA、OB，然后写出点B、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答，设BC边上的高为h，利用三角形的面积求出h，从而确定出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求解即可；
（3）分点E在点F上方和下方两种情况表示出EF，再根据平行四边形对边相等列方程求解即可；
（4）将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，根据旋转的性质可得AP′=AP，P′C=OP，∠AP′C=∠OPA，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C=90°，利用勾股定理列式求出PP′，再根据等腰直角三角形的性质解答．

解答：解：（1）∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴直线OC的解析式为y=x；

（2）∵t=3秒，
∴OA=OB=3，
∴点B（0，3），C（3，3），
将点B、C代入抛物线得，

c=3 -9+3b+c=3

，
解得

b=3 c=3

，
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+3，
设BC边上的高为h，
∵BC=OA=3，S_△BCD=6，
∴h=4，
∴点D的纵坐标为3-4=-1，
令y=-1，则-x²+3x+3=-1，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，D₁（-1，-1），D₂（4，-1）；

（3）∵OB=3，
∴EF=3，
设E（m，-m²+3m+3），F（m，m），
若E在F上方，则，-m²+3m+3-m=3，
整理得，m²-2m=0，
解得m₁=0（舍去），m₂=2，
∴F₁（2，2），
若F在E上方，则，m-（-m²+3m+3）=3，
整理m²-2m-6=0，
解得m₁=1-

7

，m₂=1+

7

，
∴F₂（1-

7

，1-

7

），
F₃（1+

7

，1+

7

）；

（4）如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，
由旋转的性质得，AP′=AP，P′C=OP=

2

，∠AP′C=∠OPA=135°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠AP′P=45°，
∴∠PP′C=135°-45°=90°，
由勾股定理得，PP′=

PC2-P′C2

=

22-( 2 )2

=

2

，
所以，AP=

2

2

PP′=

2

2

×

2

=1．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，难点在于（2）求出点D的纵坐标，（3）分情况讨论，（4）利用旋转作出等腰直角三角形和直角三角形．