Question

【题目】如图，AB是⊙O的一条弦，点C在半径OA上且不与点A，O重合，过点C作CD⊥OA于点C，交弦AB于点E，交过点B的⊙O的切线于点D．

（1）求证：DB＝DE；

（2）若sin∠ABO＝，BE＝10，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解 （2）DE=9

【解析】

（1）由切线的性质可得⊥BO,由余角的性质可得∠DBE=∠AEC=∠DEB,即求出DB=DE．

（2）过点D作DF⊥BE，由等腰三角形的性质可求BF=EF=5,∠BDF=∠EDF，由锐角三角函数即可求出DE的值．

（1）∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BD是⊙O的切线，

∴BD⊥BO，

∴∠DBE+∠OBA=90°，

∵CD⊥AO，

∴∠BAO+∠CEA=90°，

∴∠DBE=∠AEC且∠AEC=∠DEB，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE；

(2)如图，过点D作DF⊥BE；

∵DB=DE，DF⊥BE，

∴BF=EF=5，∠BDF=∠EDF；

∵∠BDF+∠DBF=90°,∠DBF+∠OBA=90°，

∴∠ABO=∠BDF=∠EDF；

∵=，

∴==，且EF=5，

∴DE=9．