【题目】如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足为D.
(1)求证:∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8:①求O的半径;②求tan∠BAE的值.
【答案】
(1)证明:连接OC.
∵CD是⊙O的切线,
∴CD⊥OC,
又∵CD⊥AE,
∴OC∥AE,
∴∠1=∠3,
∵OC=OA,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
即∠EAC=∠CAB;
(2)解:
①连接BC.
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AE于点D,
∴∠ACB=∠ADC=90°,
∵∠1=∠2,
∴△ACD∽△ABC,
∴ ,
∵AC2=AD2+CD2=42+82=80,
∴AB= =10,
∴⊙O的半径为10÷2=5.
②连接CF与BF.
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠AFC=180°,
∵∠DFC+∠AFC=180°,
∴∠DFC=∠ABC,
∵∠2+∠ABC=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∴∠2=∠DCF,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠DCF,
∵∠CDF=∠CDF,
∴△DCF∽△DAC,
∴ ,
∴DF= =2,
∴AF=AD﹣DF=8﹣2=6,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BFA=90°,
∴BF= =8,
∴tan∠BAD= .
【解析】(1)首先连接OC,由CD是⊙O的切线,CD⊥OC,又由CD⊥AE,即可判定OC∥AE,根据平行线的性质与等腰三角形的性质,即可证得∠EAC=∠CAB;(2)①连接BC,易证得△ACD∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得AB的长,继而可得⊙O的半径长;②连接CF与BF.由四边形ABCF是⊙O的内接四边形,易证得△DCF∽△DAC,然后根据相似三角形的对应边成比例,求得AF的长,又由AB是⊙O的直径,即可得∠BFA是直角,利用勾股定理求得BF的长,即可求得tan∠BAE的值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2),还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】老王的鱼塘里年初养了某种鱼2000条,到年底捕捞出售,为了估计鱼的总产量,从鱼塘里捕捞了三次,得到如下表的数据:
鱼的条数 | 平均每条鱼的质量 | |
第一次捕捞 | 10 | 1.7千克 |
第二次捕捞 | 25 | 1.8千克 |
第三次捕捞 | 15 | 2.0千克 |
若老王放养这种鱼的成活率是95%,则:
(1)鱼塘里这种鱼平均每条重约多少千克?
(2)鱼塘里这种鱼的总产量是多少千克?
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【题目】如图,过点A(2,0)的两条直线,分别交轴于B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=.
(1)求点B的坐标;
(2)若△ABC的面积为4,求的解析式.
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【题目】小明同学骑自行车去郊外春游,骑行1小时后,自行车出现故障,维修好后继续骑行,下图表示他离家的距离y(千米)与所用的时间x(时)之间关系的图象.
(1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方用了多长时间?此时离家多远?
(2)求小明出发2.5小时后离家多远;
(3)求小明出发多长时间离家12千米.
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【题目】甲、乙两人先后从公园大门出发,沿绿道向码头步行,乙先到码头并在原地等甲到达.图1是他们行走的路程y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数图象.
(1)求线段AC对应的函数表达式;
(2)写出点B的坐标和它的实际意义;
(3)设d(m)表示甲、乙之间的距离,在图2中画出d与x之间的函数图象(标注必要数据).
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【题目】为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是 ;请补全条形统计图;
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)若该市约有90万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于两点A,B,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为点D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(﹣2,0),(6,﹣8).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求点E的坐标;
(3)试探究在x轴下方的抛物线上是否存在点F,使得△FOB和△EOB的面积相等,若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由;
(4)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q,请直接写出:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
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