Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B、C重合)，过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②；③ON⊥OM；④若AB＝2，则的最小值是1；⑤.其中正确结论是_________.(只填番号)

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．

∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；

根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，故②正确；

∵△OCM≌△OBN

∴∠COM=∠BON

∴∠COM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°

∴ON⊥OM

故③正确；

∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1-=，故④不正确；

∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故⑤正确；