Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b）、B（a，0）、D（d，0），且a、b、d满足=0，DE⊥x轴且∠BED=∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）求点E、F的坐标；

（3）如图，点P（0，1）作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在点P的右侧）使∠QEM=45°，QE交x轴于点N，ME交y轴的正半轴于点M，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（﹣1，0），D（2，0）；（2）F（3，0）；（3）1.

【解析】（1）由非负数的性质可求得a、b、d的值，可求得A、B、D的坐标；

（2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；

（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点Q，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI=QH，可证明△IGE≌△QHE，可证得∠IEM=∠MEQ=45°，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM=MQ，再结合条件可求得PH=AI=PQ，可求得答案．

（1）∵=0，

∴a=﹣1，b=3，d=2，

∴A（0，3），B（﹣1，0），D（2，0）；

（2）∵A（0，3），B（﹣1，0），D（2，0），

∴OB=1，OD=2，OA=3，

∴AO=BD，

在△ABO和△BED中，

，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴DE=BO=1，

∴E（2，1），

设直线AE解析式为y=kx+b，

把A、E坐标代入，可得

，解得，

∴直线AE的解析式为y=﹣x+3，

令y=0，可解得x=3，

∴F（3，0）；

（3）如图，过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI=QH，

∵E（2，1），P（﹣1，0），

∴GE=GP=GE=PH=2，

∴四边形GEHP为正方形，

∴∠IGE=∠EHQ=90°，

在Rt△IGE和Rt△QHE中，

，

∴△IGE≌△QHE（SAS），

∴IE=EQ，∠1=∠2，

∵∠QEM=45°，

∴∠2+∠3=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠IEM=∠QEM，

在△EIM和△EQM中，

，

∴△EIM=EQM（SAS），

∴IM=MQ，

∴AM﹣MQ=AM﹣IM=AI，

由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90°，

∴∠A=∠AEG=45°，

∴PH=GE=GA=IG+AI，

∴AI=GA﹣IG=PH﹣QH=PQ，

∴==1．