课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC.它的边BC=120mm.高AD=80mm．要把它加工成正方形零件.使正方形的一边在BC上.其余两个顶点分别在AB.AC上．(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形.且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成.如图1.此时.这个矩形零件的两条边长又分别为多少?请你计� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

分析（1）设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到$\frac{x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，然后根据比例性质求出x即可；
（2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，然后与（1）的方法一样求解；
（3）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．

解答解：（1）如图1，设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；

（2）如图2，设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
解得：x=$\frac{240}{7}$，
∴2x=$\frac{480}{7}$，
∴这个矩形零件的两条边长分别为$\frac{240}{7}$mm，$\frac{480}{7}$mm；

（3）如图3，设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm²），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-PQ}{80}$，
解得：PQ=80-$\frac{2}{3}$x．
则S=PN•PQ=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
故S的最大值为2400mm²，此时PN=60mm，PQ=80-$\frac{2}{3}$×60=40（mm）．

点评本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．

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