【题目】如图①,在矩形OABC中,OA=4,OC=3,分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的坐标系,连接OB,反比例函数y=(x>0)的图象经过线段OB的中点D,并与矩形的两边交于点E和点F,直线l:y=kx+b经过点E和点F.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OE、OF,求△OEF的面积;
(3)在第一象限内,请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集: .
(4)如图②,将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度,使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上,连接BH,作OM⊥BH,点N为线段OM上的一个动点,求HN+ON的最小值.
【答案】(1)y=;(2)S△OEF=;(3)0<x<或x>3.(4)HN+ON的最小值为4.
【解析】
(1)首先确定点B坐标,再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题.
(2)求出点E,F的坐标,再根据S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△EFB计算即可.
(3)写出在第一象限,直线的图象在反比例函数的图象的下方的自变量x的取值范围即可.
(4)如图②中,作NJ⊥BD于J.HK⊥BD于K.解直角三角形首先证明:sin∠NOD=,推出NJ=ONsin∠NOD=ON,推出NH+ON=NH+NJ,根据垂线段最短可知,当J,N,H共线,且与HK重合时,HN+ON的值最小,最小值=HK的长,由此即可解决问题.
解:(1)在矩形ABCO中,∵OA=BC=4,OC=AB=3,
∴B(3,4),
∵OD=DB,
∴D(,2),
∵y=经过D(,2),
∴k=3,
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)如图①中,连接OE,OF.
由题意E(,4),F(3,1),
∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB
=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)
=.
(3)观察图象可知:在第一象限内,关于x的不等式kx+b≤的解集为:0<x<或x>3.
故答案为:0<x<或x>3.
(4)如图②中,作NJ⊥BD于J.HK⊥BD于K.
由题意OB=OH=5,
∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2,
∴BH===2,
∴sin∠CBH==,
∵OM⊥BH,
∴∠OMH=∠BCH=90°,
∵∠MOH+∠OHM=90°,∠CBH+∠CHB=90°,
∴∠MOH=∠CBH,
∵OB=OH,OM⊥BH,
∴∠MOB=∠MOH=∠CBH,
∴sin∠NOD=,
∴NJ=ONsin∠NOD=ON,
∴NH+ON=NH+NJ,
根据垂线段最短可知,当J,N,H共线,且与HK重合时,HN+ON的值最小,最小值=HK的长,
∵OB=OH,BC⊥OH,HK⊥OB,
∴HK=BC=4,
∴HN+ON是最小值为4.
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【题目】某汽车租赁公司共有汽车50辆,市场调查表明,当租金为每辆每日200元时可全部租出,当租金每提高10元,租出去的车就减少2辆.
(1)当租金提高多少元时,公司的每日收益可达到10120元?
(2)公司领导希望日收益达到10200元,你认为能否实现?若能,求出此时的租金,若不能,请说明理由.
(3)汽车日常维护要一定费用,已知外租车辆每日维护费为100元,未租出的车辆维护费为50元,当租金为多少元时,公司的利润恰好为5500元?(利润=收益一维护费).
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【题目】为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1:1(即DB:EB=1:1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,,.
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为________.
(2)点D坐标为,连接CD,判断直线CD与⊙M的位置关系并说明理由.
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【题目】已知函数y=﹣(x>0)与y=(x<0)的图象如图所示,点P是y轴负半轴上一动点,过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点,连接OA、OB.下列结论;①若点M1(x1,y1),M2(x2,y2)在图象上,且x1<x2<0,则y1<y2;②当点P坐标为(0,﹣3)时,△AOB是等腰三角形;③无论点P在什么位置,始终有S△AOB=7.5,AP=4BP;④当点P移动到使∠AOB=90°时,点A的坐标为(2,﹣).其中正确的结论为___.
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【题目】如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,BE和DG相交于点H,连接HC,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确的结论是__________.
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点,(不与点B、C)重合,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则∠ACE的度数是__________,线段AC,CD,CE之间的数量关系是_______________.
(2)2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若点A满足AB=AC,∠BAC=90°,请直接写出线段AD的长度.
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【题目】一只不透明的袋子中,装有2个白球,1个红球,1个黄球,这些球除颜色外都相同.请用列表法或画树形图法求下列事件的概率:
(1)搅匀后从中任意摸出1个球,恰好是白球.
(2)搅匀后从中任意摸出2个球,2个都是白球.
(3)再放入几个除颜色外都相同的黑球,搅匀后从中任意摸出1个球,恰好是黑球的概率为,求放入了几个黑球?
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为格点三角形,图中的就是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点的坐标为.
(1)把向左平移8格后得到,在坐标系方格纸中画出的图形并直接写出点的坐标为____;
(2)把绕点按顺时针方向旋转后得到,在坐标系方格纸中画出的图形并直接写出点的坐标为____________;
(3)在现有坐标系的方格纸中把以点为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为,画出.
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