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【题目】如图①,在矩形OABC中,OA4OC3,分别以OCOA所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的坐标系,连接OB,反比例函数yx0)的图象经过线段OB的中点D,并与矩形的两边交于点E和点F,直线lykx+b经过点E和点F

1)求反比例函数的解析式;

2)连接OEOF,求OEF的面积;

3)在第一象限内,请直接写出关于x的不等式kx+b的解集: 

4)如图②,将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度,使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上,连接BH,作OMBH,点N为线段OM上的一个动点,求HN+ON的最小值.

【答案】1y;(2SOEF;(30xx3.(4HN+ON的最小值为4

【解析】

1)首先确定点B坐标,再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题.
2)求出点EF的坐标,再根据SOEF=S矩形ABCO-SAOE-SOCF-SEFB计算即可.
3)写出在第一象限,直线的图象在反比例函数的图象的下方的自变量x的取值范围即可.
4)如图②中,作NJBDJHKBDK.解直角三角形首先证明:sinNOD=,推出NJ=ONsinNOD=ON,推出NH+ON=NH+NJ,根据垂线段最短可知,当JNH共线,且与HK重合时,HN+ON的值最小,最小值=HK的长,由此即可解决问题.

解:(1)在矩形ABCO中,∵OABC4OCAB3

B34),

ODDB

D2),

y经过D2),

k3

∴反比例函数的解析式为y

2)如图①中,连接OEOF

由题意E4),F31),

SOEFS矩形ABCOSAOESOCFSEFB

12×4××3×1×3×3

3)观察图象可知:在第一象限内,关于x的不等式kx+b的解集为:0xx3

故答案为:0xx3

4)如图②中,作NJBDJHKBDK

由题意OBOH5

CHOHOC532

BH2

sinCBH

OMBH

∴∠OMH=∠BCH90°

∵∠MOH+OHM90°,∠CBH+CHB90°

∴∠MOH=∠CBH

OBOHOMBH

∴∠MOB=∠MOH=∠CBH

sinNOD

NJONsinNODON

NH+ONNH+NJ

根据垂线段最短可知,当JNH共线,且与HK重合时,HN+ON的值最小,最小值=HK的长,

OBOHBCOHHKOB

HKBC4

HN+ON是最小值为4

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