Question

如图，已知⊙O的弦AB、CD互相垂直，OE垂直于AD于E，证明：BC=2OE．

Answer 1

考点：圆周角定理,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连结OA、OB、OC、BD，作OH⊥BC，如图，根据等腰三角形的性质，由OA=OD，OE⊥AD得∠1=

1

2

∠AOD，再根据圆周角定理得∠AOD=2∠ABD，则∠1=∠ABD，同理可得∠2=∠BDC，
由CD⊥AB得∠BDF+∠FBD=90°，则∠1+∠2=90°，利用等角的余角相等得∠OAE=∠2，然后证明△OAE≌△BOH，得到OE=BH，于是有BC=2OE．

解答：证明：连结OA、OB、OC、BD，作OH⊥BC，如图，
∵OA=OD，OE⊥AD，
∴∠1=

1

2

∠AOD，
而∠AOD=2∠ABD，
∴∠1=∠ABD，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，∠2=

1

2

∠BOC，
而∠BOC=2∠BCD，
∴∠2=∠BDC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDF+∠FBD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠2，
在△OAE和△BOH中

∠OEA=∠BHO ∠OAE=∠2 OA=OB

，
∴△OAE≌△BOH，
∴OE=BH，
∴BC=2OE．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形全等的判定与性质．