Question

【题目】如图，平面直角坐标系中点A坐标为(2，﹣4)，以A为顶点的抛物线经过坐标原点交x轴于点B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)取线段AB上一点D，以BD为直径作⊙C交x轴于点E，作EF⊥AO于点F，

求证：EF是⊙C的切线；

(3)设⊙C的半径为r，EF＝m，求m与r的函数关系式及自变量r的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣4x；(2)证明见解析；(3) .

【解析】

（1）结合已知条件可以知道抛物线经过A（2，-4），O（0，0），代入解析式，即可求出抛物线的解析式；
（2）连接CE，只要求证CE∥AO，结合已知推出EF⊥CE，即可求证出结论；
（3）作AH⊥OB于H点，结合勾股定理和抛物线的性质求出个线段的长度，根据平行线的性质，写出比例式，求出半径CB的长度

(1)设y＝a(x﹣2)2﹣4，把O(0，0)代入，得4a﹣4＝0，

∴a＝1，

∴y＝(x﹣2)2﹣4＝y＝x2﹣4x；

(2)连接CE，

∴CE＝CB

∴∠CEB＝∠CBE

∵抛物线有对称性

∴AO＝AB

∴∠AOB＝∠OBA

∴∠AOB＝∠CEB

∴CE∥AO

∵EF⊥AO

∴EF⊥CE

∴EF是⊙C的切线

(3)作AH⊥OB于H，∴OH＝HB＝2，AH＝4，AO＝AB＝

∴sin∠AOB＝sin∠ABO＝

在RT△EFO中，EF＝OEsin∠BOA＝

由(2)CE∥OA，∴△BEC∽△BOA，

∴，即

∴BE＝

∴OE＝OB﹣EB＝

∴

即：，

∴0＜r＜．