【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知点,的坐标分别为和,点为轴正半轴上的一个动点,过点、、作的外接圆,连结并延长交圆于点,连结、.
(1)求证:.
(2)当时,求的长度.
(3)如图2,连结,求线段的最小值及当最小时的外接圆圆心的坐标.
【答案】(1)见解析;(2);(3)OD最小值为9,C(,)
【解析】
(1)根据圆周角定理得出∠ABD=90°,再根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADB=∠AEB,从而证明结论;
(2)根据条件算出AB,证明△ABD∽△AOE,得出,解得AE,再根据勾股定理算出OE的长;
(3)设直线BD与y轴交于点F,得出当OD⊥BD时,OD最小,通过解直角三角形算出OD,BD,过点D作DG⊥BE于点G,设OG=x,利用勾股定理解出OG和DG,从而得到点D坐标,结合点A坐标得出圆心C的坐标.
解:(1)由题意可得:AD为⊙O的直径,
∴∠ABD=∠AOE=90°,
∵∠ADB=∠AEB,∠AOE=90°
∴∠OAE=∠BAD;
(2)∵和,
∴OA=6,OB=,
∴AB=,
∵AD=15,
由(1)得:∠OAE=∠BAD,∠ABD=∠AOE,
∴△ABD∽△AOE,
∴,
即,
解得:AE=,
∴OE=;
(3)设直线BD与y轴交于点F,
∵AB⊥BD,
∴∠OBD=∠OAB=90°-∠ABO,
直线AB位置不变,
∴直线BD位置不变,
∴当OD⊥BD时,OD最小,
此时,OD=OB×sin∠OBD=OB×sin∠OAB=×=×=9,
BD=,
过点D作DG⊥BE于点G,设OG=x,则BG=-x,
在△OBD中,BD2-BG2=OD2-OG2,
即,
解得:x=,即OG=,
DG=,
由题意可得点D在第三象限,
∴点D坐标为(,),而点A(0,6),
∴点C坐标为(,),即(,).
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【题目】已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是⊙O的弦,∠AEC=30°.
(1)求证:直线AD是⊙O的切线;
(2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为4,求AE的长.
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【题目】如图所示,⊙O的半径为4,点A是⊙O上一点,直线l过点A;P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交⊙O于点E,直径PD延长线交直线l于点F,点A是的中点.
(1)求证:直线l是⊙O的切线;
(2)若PA=6,求PB的长.
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【题目】如图,是☉的直径,为☉上一点,是半径上一动点(不与重合),过点作射线,分别交弦,于两点,过点的切线交射线于点.
(1)求证:.
(2)当是的中点时,
①若,判断以为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由;
②若,且,则_________.
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【题目】如图,矩形的四个顶点分别在矩形的各条边上,,,.有以下四个结论:①;②;③;④矩形的面积是.其中正确的结论为( )
A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣4,1),点B的坐标为(﹣1,1).
(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位,再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1,并写出A1的坐标;
(2)将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2,试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D、E分别在边AC、AB上,AD=14,点P是边BC上一动点,当PD+PE的值最小时,AE=15,则BE为( )
A.30B.29C.28D.27
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【题目】毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名人:秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗,小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上.
(1)小哲从中随机抽取一张,求卡片上介绍的人物是唐太宗的概率;
(2)用树状图或列表法求小哲从中随机抽取两张,卡片上介绍的人物均是汉朝以后出生的概率.(注:唐太宗、宋太祖、成吉思汗均是汉朝以后出生)
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【题目】如图,反比例函数(x>0)的图象与直线相交于点A,与直线y=kx(k≠0)相交于点B,若△OAB的面积为18,则k的值为_______________.
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