Question

1．已知△ABC是边长为10cm的等边三角形，一动点D从A出发沿自A向C方向以每秒2cm的速度移动，另一动点E同时从C出发沿自C向B方向以相同速度移动，当点D运动到点C时停止，同时点E也停止运动，连接AE、BD，相交于点F．
（1）当D、E点移动到如图所示位置时，小明感觉线段BD与线段AE的长度相同，你认同AE=BD的结论吗？请给出你的证明；
（2）在D、E点移动的过程中，小亮测量得到BD和AE所在直线的夹角的大小一直没变，你知道这个夹角为多少度吗？请给出详细的求解过程（注意：两条直线相交，所成的小于或等于90°的角称为夹角）．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出AD=CE，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，根据SAS证明△ACE≌△ABD，即可得出AE=BD；
（2）由△ACE≌△ABD，得出∠ABD=∠CAE，即可得出∠AFD=∠BAC=60°．

解答 解：（1）认同AE=BD；理由如下：
根据题意得：AD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠C=∠BAD}&{\;}\\{CE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴AE=BD；
（2）这个夹角为60°；理由如下：
∵△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠AFD=∠ABD+∠BAF=∠CAE+∠BAF=∠BAC=60°，
即直线BD和AE的夹角为60°．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．