Question

已知a≠b且

a2

ab+b2

-

b2

a2+ab

=0．求证：

1

a

+

1

b

=

1

a+b

．

Answer 1

考点：分式的混合运算

专题：证明题

分析：由已知条件得到a⁴+a³b-ab³-b⁴=0，再利用因式分解得到∴（a²-b²）（a²+b²+ab）=0，而a≠b，则a²+b²+ab=0，根据完全平方公式得到（a+b）²=ab，再利用等式的性质变形即可得到

1

a

+

1

b

=

1

a+b

．

解答：证明：∵

a2

ab+b2

-

b2

a2+ab

=0，
∴a⁴+a³b-ab³-b⁴=0，
∴（a²+b²）（a²-b²）+ab（a²-b²）=0，
∴（a²-b²）（a²+b²+ab）=0，
而a≠b，
∴a²+b²+ab=0，
∴a²+b²+2ab=ab，
∴（a+b）²=ab
∴

(a+b)2

ab

=1，
∴

a+b

ab

=

1

a+b

，
∴

1

a

+

1

b

=

1

a+b

．

点评：本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．