Question

如图，AB、BC、CD分别于⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）求证MN是⊙O的切线，可以通过证明∠NMC=90°得出；
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，图中阴影部分的面积=△OBC的面积-扇形的面积．

解答：（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=2∠DCM．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=

1

2

×180°=90°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°．
∵MN∥OB，
∴∠NMC=∠BOC=90°，即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；

（2）解：连接OF，则OF⊥BC．
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC=

OB2+OC2

=

62+82

=10，
∵S_△BOC=

1

2

•OB•OC=

1

2

•BC•OF，
∴6×8=10×OF，
∴0F=4.8cm，
∴⊙O的半径为4.8cm．
∴S_阴影=

1

2

×6×8-

90π×4．82

360

=24-5.76π（cm²）．
综上所述，⊙O的半径是4.8cm，图中阴影部分的面积是（24-5.76π）cm²．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．