Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如果对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，那么称点P是线段AB的“附近点”．

（1）请判断点D（4.5，2.5）是否是线段AB的“附近点”；

（2）如果点H （m，n）在一次函数的图象上，且是线段AB的“附近点”，求m的取值范围；

（3）如果一次函数y=x+b的图象上至少存在一个“附近点”，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点D（4.5，2.5）是线段AB的“附近点”；

（2）m的取值范围是；

（3）b的取值范围是

【解析】

（1）点P是线段AB的“附近点”的定义即可判断.

（2）首先求出直线y=x-2与线段AB交于（，3）分①当m≥时，列出不等式即可解决问题.

（3）如图，在Rt△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，则点M坐标（2-，3+），在Rt△BEF中，BE=1，∠EBF=45°，则点E坐标（6+，3-），

分别求出直线经过点M点E时的b的值，即可解决问题.

解：（1）∵点D到线段AB的距离是0.5，

∴0.5<1，

∴点D（4.5，2.5）是否是线段AB的“附近点”；

（2）∵点H（m，n）线段AB的“附加点”，点H（m，n）在直线y=x-2上，

∴n=m-2；

直线y=x-2 线段AB交于（，3）.

①当m≥时，有n=m-2≥3，

又AB∥x轴，∴此时点H（m、n）到线段AB的距离是n-3.

∴0≤n-3，∴≤m≤5.

综上所述，≤m≤5.

（3）如图，在Rt△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，则点M坐标（2-，3+），

在Rt△BEF中，BE=1，∠ENF=45°，则点E坐标（6+，3-），

当直线y=x+b经过点M时，b=1+，当直线y=x+b经过点E时，b=-3-，

∴-3-≤b≤1+.

“点睛”本题考查一次函数综合题、线段AB的“附近点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会利用特殊点解决问题，属于中档压轴题.