Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．

（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，AG与DG的位置关系为________，数量关系为________；

（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG的位置关系为________，数量关系为________，请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）AG⊥GD，AG=GD；（2）AG⊥GD，AG=DG．证明见解析．

【解析】

（1）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；

（2）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等边三角形，即可证得AG⊥GD，AG=DG．

（1）AG⊥DG，AG=DG，

证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形CDEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BE的中点，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠DCB=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ABH=∠ACD=45°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∵∠BAH+∠HAC=90°，

∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，

∴AG⊥GD，AG=GD；

故答案为：AG⊥DG，AG=DG；

（2）AG⊥GD，AG=DG；

证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形CDEF是菱形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BE的中点，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60°，

∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，

∴∠ABC=∠ACD=60°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=60°；

∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，

∴，

∴．

故答案为：AG⊥GD，AG=DG．