Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．

（1）求证：AM＝MD；

（2）填空：

①若DN，则△ABC的面积为　 　；

②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①；②45°．

【解析】

（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODM=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），求得BM=DM，∠DOM=∠BOM=∠DOB，根据圆周角定理得到∠BOM=∠C，于是得到结论；
（2）①由于tan∠DON=，求得∠DON=60°，根据圆周角定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
②根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．

（1）证明：连接OD，

∵DN为⊙O的切线，

∴∠ODM＝∠ABC＝90°，

在Rt△BOM与Rt△DOM中，

∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），

∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM，

∵∠C，

∴∠BOM＝∠C，

∴OM∥AC，

∵BO＝OC，

∴BM＝AM，

∴AM＝DM；

（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN，

∴tan∠DON，

∴∠DON＝60°，

∴∠C＝30°，

∵BC＝2OC＝2，

∴ABBC，

∴△ABC的面积为ABBC2；

②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°，

理由：∵四边形COMD为平行四边形，

∴DN∥BC，

∴∠DON＝∠NDO＝90°，

∴∠CDON＝45°．