Question

【题目】如图，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点；、分别由、逆时针旋转而得，旋转角都为，则下列结论：

①．

②、、、在一条直线上．

③．

④．

其中正确的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由于△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，得到BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，则△BOO′和△BPP′都是等边三角形，得到∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四个结论都正确．

连PP′，如图，

∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，

∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，

∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，

∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，

∴A′O′+O′O=AO+BO，所以①正确；

而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，

∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，

即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以②正确；

A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；

又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，

∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．

故选D．