【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BE=16,sinB=,求AF的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)连接OD,由AD为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量代换得到内错角相等,进而得到OD与AC平行,得到OD与BC垂直,即可得证;
(2)连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值,利用锐角三角函数定义求出r的值,由直径所对的圆周角为直角,得到EF与BC平行,得到sin∠AEF=sinB,进而求出AF的长即可.
(1)证明:如图,连接OD,
∵AD为∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODC=90°,
∴OD⊥BC,
∴BC为圆O的切线;
(2)在Rt△BOD中,sinB=,
设圆的半径为r,可得,
解得:r=10,
经检验,符合题意,
连接EF,
∵AE是直径
∴∠AFE=90°
∴EF∥BC
∴∠B=∠AEF
∴sinB=sin∠AEF=
即
∴AF=.
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【题目】当白色小正方形个数按等于1,2,3,…时的某种规律增加时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示,则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于______.(用表示,是正整数)
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【题目】某制药厂需要紧急生产一批能有效缓解“新冠肺炎”的药品,要求必须在12天(含12天)内完成.为了加快生产,车间采取工人加班,机器不停的生产方式,这样每天药品的产量(吨)是时间(天)的一次函数,且满足如下表中所对应的数量关系.由于机器负荷运转产生损耗,平均生产每吨药品的成本(元)与时间(天)的关系满足如图所示的函数图象.
时间(天) | 2 | 4 |
每天产量(吨) | 24 | 28 |
(1)求药品每天的产量(吨)与时间(天)之间的函数关系式;
(2)当时,直接写出(元)与时间(天)的函数关系是 ;
(3)若这批药品的价格为1400元/吨,每天的利润设为元,求哪一天的利润最高,最高利润是多少?(利润售价成本)
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【题目】如图,矩形纸片中,,,是边上一点,连接.折叠该纸片,使点落在上的点,并使折痕经过点,得到折痕,点在上.若,则的长为( )
A.B.4C.3D.2
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒,作AG⊥PQ于点G,则AG的最大值为( )
A.B.C.D.6
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【题目】如图,在平行四边形中,,,是上一动点,过作的垂线交于,将折叠得到,延长交于,连接.
(1)求证:;
(2)当时,证明是等腰三角形;
(3)若,,求的长.
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