Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BE=16，sinB=，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；

（2）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF＝sinB，进而求出AF的长即可．

（1）证明：如图，连接OD，

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC为圆O的切线；

（2）在Rt△BOD中，sinB=，

设圆的半径为r，可得，

解得：r＝10，

经检验，符合题意，

连接EF，

∵AE是直径

∴∠AFE=90°

∴EF∥BC

∴∠B=∠AEF

∴sinB=sin∠AEF=

即

∴AF=．