Question

【题目】如图，在平行四边形中，，，是上一动点，过作的垂线交于，将折叠得到，延长交于，连接．

(1)求证：；

(2)当时，证明是等腰三角形；

(3)若，，求的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析； (3)

【解析】

(1)先证B、D、F在一条直线上，再证明∠PDG=∠BEG，接着证∠PDG=∠F得到PD=PF，再证∠ADP =∠DHP得到PD=PH，用等量替换即刻得到答案；
(2)先根据以及得到∽，再证明以及得到AD=AP，即可得到是等腰三角形；

(3)先根据， ，得到，再计算DP的长度，利用勾股定理即可得到DE的长．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠PBC=180°，
∵∠A=45°，
∴∠PBC=135°，
由折叠知，∠PBF=∠PBE=135°，
∵，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABD+∠PBF=180°，
∴点F在DB的延长线上，

即：B、D、F在一条直线上，

如图，把PE与DF的交点记为G，

∵∠ABD=45°，∠PBC=135°，

∴∠DBE=90°，

∴∠BEG+∠BGE=90°，∠BGE=∠PGD，

又∵过作的垂线交于，
∴∠PDG+∠PGD=90°，

∴∠PDG=∠BEG（等量替换），

又∵∠BEG=∠F，

∴∠PDG=∠F（等量替换），

∴PD=PF，
∵∠GDP+∠ADP=90°，∠F+∠DHP=90°，
∴∠ADP =∠DHP（等量替换），
∴PD=PH，
∴PF=PH；

(2)根据以及得到：

∽，

∴，

∴

∴，

∴

∴；

(3)∵， ，，

∴

∴（勾股定理），

又∵，

∴，

作于，

根据等面积法： ，

∴

∴，

∴ ，

∴，

∴，

又∵△DPE是等腰直角三角形，

∴，

∴．