Question

【题目】设二次函数y1=a（x﹣2）2+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1），在x轴上截得的线段长为 ．
（1）求a、c的值．
（2）对于任意实数k，规定：当﹣2≤x≤1时，关于x的函数y2=y1﹣kx的最小值称为k的“贡献值”，记作g（k）．求g（k）的解析式．
（3）在（2）条件下，当“贡献值”g（k）=1时，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将（0，1）代入得：4a+c=1 ①．

又∵在x轴上截得的线段长为 ．

∴令y=0，则a（x﹣2）2+c=ax2﹣4ax+4a+c=0，

∴|x2﹣x1|= = =2 ，

，整理，得2a+c=0 ②，

联立①②，解得：a= ，c=﹣1．

（2）解：∵y2=y1﹣kx，

∴y2= （x﹣2）2﹣1=﹣kx= x2﹣（k+2）x+1．

∴抛物线的对称轴为x=k+2．

当k+2＜﹣2时，即k＜﹣4时，当x=﹣2时，y2有最小值，y2的最小值= ×4+2（k+2）+1=2k+7；

当﹣2≤k+2≤1时，即﹣4≤k≤﹣1时，当x=k+2时，y2有最小值，y2的最小值= （k+2）2﹣（k+2）2+1=﹣ （k+2）2+1．

当k+2＞1时，即k＞﹣1时，当x=1时，y2有最小值，y2的最小值= ×1﹣（k+2）+1=﹣k﹣ ．

综上所述，g（k）的解析式为g（k）=

（3）解：当k＜﹣4时：令y=2k+7=1，得k=﹣3，不合题意舍去；

当﹣4≤k≤﹣1时：令y=﹣ （k+2）2+1=1；得k=﹣2．

当k＞﹣1时：令y=﹣k﹣ =1，得k=﹣ ，舍去．

综上所述，k=﹣2．

【解析】（1）将（0，1）代入得：4a+c=1，在x轴上截得的线段长为 2 ，将y=0代入方程，由|x2﹣x1|= 2 ，利用根与系数的关系可得到2a+c=0，即可求出a、c的值。
（2）根据题意得出y2= x2﹣（k+2）x+1，可知抛物线的对称轴为x=k+2，然后分三种情况讨论：当k+2＜﹣2时，当﹣2≤k+2≤1时，当k+2＞1时，就可以分别求出y2的最小值，即可求出对应的函数解析式。
（3）由已知g（k）=1时，当k＜﹣4时：当﹣4≤k≤﹣1时：当k＞﹣1时,分别列出关于k的方程，解方程从而求得k的值。
【考点精析】通过灵活运用解二元一次方程组和二次函数图象以及系数a、b、c的关系，掌握二元一次方程组：①代入消元法；②加减消元法；二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）即可以解答此题．