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    【题目】如图，点是边上的中点，，垂足分别是点.

    (1)若，求证：；

    (2)若，求证：四边形是矩形.

    【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

    【解析】

    （1）由“SAS”可证△BFD≌△CED；

    （2）由三角形内角和定理可得∠A=90°，由三个角是直角的四边形是矩形可判定四边形AEDF是矩形．

    证明：（1）∵点D是△ABC边BC上的中点

    ∴BD=CD

    又∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F

    ∴∠BFD=∠DEC=90°

    ∵BD=CD，∠BFD=∠DEC，∠B=∠C

    ∴△BFD≌△CED（AAS）

    （2）∵∠B+∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°

    ∴∠A=90°

    ∵∠BFD=∠DEC=90°

    ∴∠A=∠BFD=∠DEC=90°

    ∴四边形AEDF是矩形

    练习册系列答案
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    【题目】某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：


    A种产品

    B种产品

    成本（万元/件）

    2

    5

    利润（万元/件）

    1

    3

    （1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？

    （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？

    （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．

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    【题目】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

    甲种客车

    乙种客车

    载客量/（人/辆）

    30

    42

    租金/（元/辆）

    300

    400

    学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．

    （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？

    （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　 　辆；

    （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．

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    【题目】某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？

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    【题目】北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在着神奇的“黑洞数”现象：

    (1)请你用不同的三个数再试试，你发现了什么“神奇”的现象？

    (2)请用所学过的知识现象解释一下(1)中的发现．

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    【题目】阅读材料：

    材料1.若一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)的两根为x1，x2，则， .

    材料2．已知实数m、n满足 ，且m≠n，求的值．

    解：由m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1,mn=-1，

    ∴

    根据上述材料解决下面问题：

    （1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1，x2，则x1+x2= , x1x2= ；

    （2）已知实数m,n满足2n2-2n-1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值；

    （3）已知实数p，q满足p2=3p+2、2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．

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    【题目】作图与探究:

    如图，已知点A、O、B是正方形网格的格点(网格线的交点)，点P是∠AOB的边0B上的一点.

    (1)过点P画OB的垂线，交OA于点E;

    (2)过点P画OA的垂线，垂足为H;

    (3)过点P画OA的平行线PC;

    (4)若每个小正方形的边长是1,则点P到OA的距离是_________;

    (5)线段PE、PH、OE的大小关系是___________(用“<"连接).

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    【题目】某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛，成绩如图所示：

    （1）根据图示填写下表；

    班级

    平均数（分）

    中位数（分）

    众数（分）

    九（1）

    85

    九（2）

    85

    100

    （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；

    （3）已知九（1）班复赛成绩的方差是70，请计算九（2）班的复赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定？

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    【题目】购买甲、乙、丙三种不同品种的练习本各四次，其中，有一次购买时，三种练习本同时打折，四次购买的数量和费用如下表：

    购买次数

    购买各种练习本的数量（单位：本）

    购买总费用（单位：元）

    甲

    乙

    丙

    第一次

    2

    3

    0

    24

    第二次

    4

    9

    6

    75

    第三次

    10

    3

    0

    72

    第四次

    10

    10

    4

    88

    （1）第______次购物时打折；练习本甲的标价是_____元/本，练习本乙的标价是______元/本，练习本丙的标价是______元/本；

    （2）如果三种练习本的折扣相同，请问折扣是打几折？

    （3）现有资金100.5元，全部用于购买练习本，计划以标价购进练习本36本，如果购买其中两种练习本，请你直接写出一种购买方案，不需说明理由．

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