Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF=CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2=EFBF；②AG=2DC；③AE=EF；④AFEC=EFEB．其中正确的结论有________

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】根据等边对等角的性质求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根据等边对等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根据直角三角形的性质求出△BCF和△CEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到①正确；根据互余关系求出∠G=∠ACG，再根据等角对等边的性质求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角边”证明△BCE和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BC，从而判断②正确；根据角的互余关系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°再根据∠ADC的正切值为2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，从而得到AE≠EF，判断出③错误；根据根据直角三角形的性质求出△CEF和△BCE相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出EC2=EFEB，再根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，从而判断出④正确．

解：∵DF=CD，

∴∠DCF=∠DFC，

∵AC=BC，点D是BC的中点，

∴DF=DB=DC，

∴∠DBF=∠DFB，

又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，

∴∠BFC=×180°=90°，

∴CF⊥BE，

∴Rt△BCF∽Rt△CEF，

∴=，

∴CF2=EFBF，故①正确；

∵AG⊥AD，

∴∠G+∠AFG=90°，

又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，

∴∠G=∠ACG，

∴AG=AC，

∵AC=BC，

∴AG=BC，

又∵∠CBE=∠ACG，

∴∠CBE=∠G，

在△BCE和△AGF中，

∵∠GAF=∠BCE=90°，∠CBE=∠G，AG=BC，，

∴△BCE≌△AGF（AAS），

∴AG=BC，

∵点D是BC的中点，

∴BC=2DC，

∴AG=2DC，故②正确；

根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，

∵tan∠ADC=2，

∴∠ADC≠60°，

∵∠DCF=∠DFC，

∴∠FDC≠∠DFC，

∴∠EAF≠∠EFA，

∴AE≠EF，故③错误；

∵∠ACB=90°，CF⊥BE，

∴△CEF∽△BCE，

∴=，

∴EC2=EFEB，

∵△BCE≌△AGF（已证），

∴AF=EC，

∴AFEC=EFEB，故④正确；

所以，正确的结论有①②④．

“点睛”本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出AG=AC，然后证明△BCE和△AGF全等是证明的关键，也是本题的难点．