Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于点和点与轴交于点，过点的直线交抛物线的另一个点为点,点的横坐标为．

求和的值．

点在直线下方的抛物线上任一点，点的横坐标为过点作轴，交于点设求出与的函数关系式，并直接写出的取值范围．

在问的条件下，过点作，垂足为点，连接,若把分 成面积比为的两个三角形，求出此时的值．

Answer 1

【答案】（1）b=，c=-2；（2）d= -t2-t+4（-4＜t＜2）；（3）或

【解析】

（1）根据交点式写出抛物线的表达式为：y=(x+4)(x-1)，整理即可求解；

（2）用待定系数法求出直线AE的表达式为，点P(t，t2+t-2)，则点F(t，t+2)，然后根据两点间的距离公式求解即可；

（3）PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，则ER：KH=12：11，即：(2-t)：(t-xK)=12：11，解得：xK=，则点K(，)，直线PK的表达式为：y=-2x+，将点P的坐标代入上式并化简得：12t2-31t+14=0，即可求解．

解：（1）抛物线的表达式为：y=(x+4)(x-1)=x2+x-2，

则b=，c=-2；

（2）点E的横坐标为2，而点E在抛物线上，

∴y=2+3-2=3，

∴点E(2，3)，

将A、E的坐标代入y=mx+n得：，解得：，

∴直线AE的表达式为：y=x+2，

设点P(t，t2+t-2)，点F(t，t+2)，

d=PF=t+2-(t2+t-2)=-t2-t+4.；

∵A(-4，0)，E(2，3)，

∴-4＜t＜2，

∴d= -t2-t+4（-4＜t＜2）；

（3）点P(t，t2+t-2)，分别过点E、K作PF的垂线交于点R、H，

PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，当ER：KH=12：11时，

即：(2-t)：(t-xK)=12：11，

解得：xK=，

则yK=×=，

∴点K(，)，

∵PK⊥AE，则直线PK的表达式可设为：y=-2x+s，

将点K的坐标代入上式得：

=-2×+3，

∴s=，

∴直线PK的表达式为：y=-2x+，

将点P的坐标代入上式得：P(t，t2+t-2)，

t2+t-2=-2t+，

∴12t2-31t+14=0，

解得：t=或2（舍去2）；

PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，当ER：KH=11：12时，

同理可得：t=；

综上，t=或．