Question

8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC于BD相交于点M，AC平分∠BAD，∠ABD的角平分线交AC于点E，∠CBD=∠CAD，点A关于直线BE的对称点F在BD上，连接AF．
（1）如图①，求证：∠BCE=2∠CAF；
（2）如图②，过C作BD的垂线分别交BD、BE于点P、G，过E作AB的垂线交AB于点H，若∠BCE=4∠GCE，BE=3AE，BH：BD=15：22，试探究线段BD、CG、DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先根据AC平分∠BAD，BE平分∠ABD，推得∠BEC=∠CBE，即可判断出CB=CE；然后根据CN⊥BE，推得∠BCN=∠ECN；最后推得CN∥AF，即可判断出∠BCE=2∠CAF．
（2）线段BD、CG、DF之间的数量关系为：BD-DF=$\frac{5}{4}$CG．首先作GI∥AB交AE于点I，作CN⊥BE于点N，延长BE交AF于点Q，CN与BP相交于点K，推得∠CDM=∠CBD，即可判断出BC=CD；然后根据相似三角形判定的方法，推得△BHE∽△BPG，即可判断出$\frac{BH}{BP}=\frac{BE}{BG}$=$\frac{15}{11}$，进而推得GI=$\frac{4}{15}$AB；最后根据相似三角形判定的方法，推得△GCI∽△EBA，即可判断出GI=$\frac{1}{3}$GC，进而判断出BD-DF=$\frac{5}{4}$CG即可．

解答 （1）证明：如图①，作CN⊥BE于点N，延长BE交AF于点Q，，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD，
∵∠BEC=∠ABE+∠BAE，∠CBE=∠EBD+∠DBC，∠DBC=∠CAD，
∴∠BEC=∠CBE，
∴CB=CE，
又∵CN⊥BE，
∴∠BCN=∠ECN，
∵点A关于直线BE的对称点F在BD上，
∴BQ⊥AF，
又∵CN⊥BE，
∴CN∥AF，
∴∠CAF=∠ECN=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠BCE=2∠CAF．

（2）解：线段BD、CG、DF之间的数量关系为：BD-DF=$\frac{5}{4}$CG．
如图②，作GI∥AB交AE于点I，作CN⊥BE于点N，延长BE交AF于点Q，CN与BP相交于点K，，
∵∠CBM=∠DAM，∠CMB=∠DMA，
∴△CBM∽△DAM，
∴$\frac{AM}{MD}=\frac{BM}{MC}$，
又∵∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC，
∴∠BAM=∠CDM，
又∵∠BAM=∠DAM=∠CBD，
∴∠CDM=∠CBD，
∴BC=CD，
又∵BP⊥BD，
∴BP=PD，
∵∠ABE=∠EBD，∠BHE=∠BPG=90°，
∴△BHE∽△BPG，
∴$\frac{BH}{BP}=\frac{BE}{BG}$，
∵BH：BD=15：22，BD=2BP，
∴$\frac{BH}{BP}=\frac{BE}{BG}$=$\frac{15}{11}$，
∵GI∥AB，
∴∠EIG=∠EAB，
∴$\frac{GE}{BE}$=$\frac{GI}{AB}$=$\frac{4}{15}$，
∴GI=$\frac{4}{15}$AB，
∵A、F关于BE对称，
∴BA=BF，
∴∠BAF=∠BFA，
∵∠BNK=∠BPG=90°，∠BKN=∠CKP，
∴△BKN∽CKP，
∴∠KBN=∠KCP，
∴∠ABE=∠KBN=∠KCP，
∵∠BCE=4∠GCE，BC=CE，
∴∠GCI=∠KCP=∠ABE，
∴△GCI∽△EBA，
∴$\frac{GC}{GI}=\frac{BE}{AE}=3$，
∴GI=$\frac{1}{3}$GC，
又∵GI=$\frac{4}{15}$AB，
∴$\frac{1}{3}$GC=$\frac{4}{15}$AB，
∴AB=$\frac{5}{4}$CG，
∴BD-DF=BF=AB=$\frac{5}{4}$CG，
∴BD-DF=$\frac{5}{4}$CG．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．