Question

【题目】如图①，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S＞0），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）．

（1）求线段AC的长．

（2）当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．

（3）若边EF与边AC交于点Q，连结PQ，如图②．

①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，求AP的长．

②直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）当0＜t≤1时，S=t2+t；当≤t＜5时，S=（5﹣t）2；（3）①或；②或.

．

【解析】试题分析：

（1）在Rt△ABD中，由∠BDA=90°，AB=5，BD=3，可由勾股定理求得AD=4；在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，可求得CD=1；由此可得AC=AD+CD=5；

（2）由题意分析可知，如图1，当点D在线段EF上或EF的下方时，△PEF与△ABD重叠部分图形为矩形PMDN；如图2，当点F落到AC上或AC的上方时，△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形PMFN；分这两种情况分析讨论即可；

（3）①如图3、图4，分I、S△PFQ：S△PEQ=1：2和II、 S△PFQ：S△PEQ=2：1两种情况讨论，由此可分别可得到：S△PEQ：S△PEF=2：3和S△PEQ：S△PEF=1：3从而可得：PG：PF=2：3和PG：PF=1：3，结合PG= ，PF=即可解得所求AP的长；

②如图5、图6，分I、PQ的垂直平分线经过当点A和II、PQ的垂直平分线经过点B两种情况分析讨论即可求得对应的t的值.

试题解析：

（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，

∴AD=，

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，

∴CD=，

∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．

易知PA=t，AM=t，PM=t，DM=4﹣t，

∴S=t（4﹣t）=﹣t2+t．

如图2中，当≤t＜5时，重叠部分是四边形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，

∴AC=AB，

易证PB=PE=5﹣t，PF=（5﹣t），PN=（5﹣t），

S=（5﹣t）（5﹣t）﹣（5﹣t）（5﹣t）=（5﹣t）2．

（3）①如图3中，PF交AC于G．

当S△PFQ：S△PEQ=1：2时，

∴S△PEQ：S△PEF=2：3，

∴PEPG： PEPF=2：3，

∴PG：PF=2：3，

∴t： （5﹣t）=2：3．

∴t=，即AP=．

如图4中，当S△PFQ：S△PEQ=2：1时，

∴S△PEQ：S△PEF=1：3，

∴PEPG： PEPF=1：3，

∴PG：PF=1：3，

∴t： （5﹣t）=1：3．

∴t=，即AP=，

∴AP的值为或．

②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．

易知四边形APEQ时菱形，

∴PE=PA，即t=5﹣t，

∴t=．

如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四边形PENG时矩形，四边形DMEN时矩形，

∴PG=EN=t，EM=DN=PE﹣PM=（5﹣t），

QN=EN=t，

∴QD=t﹣（5﹣t）=t﹣1，

在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，

∴（5﹣t）2=32+（t﹣1）2，

∴t=．

综上所述，t=s或s时，PQ的垂直平分线过△ABC的顶点．