Question

8．如图，在第1个△ABA₁中，∠B=20°，∠BAA₁=∠BA₁A，在A₁B上取一点C，延长AA₁到A₂，使得在第2个△A₁CA₂中，∠A₁CA₂=∠A₁A₂C；在A₂C上取一点D，延长A₁A₂到A₃，使得在第3个△A₂DA₃中，∠A₂DA₃=∠A₂A₃D；…，按此做法进行下去，第三个三角形中，以A₃为顶点的底角的度数为20°；第n个三角形中以A_n为顶点的底角的度数为$\frac{80°}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质求出∠BA₁A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA₂A₁，∠DA₃A₂及∠EA₄A₃的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以A_n为顶点的底角的度数．

解答 解：∵在△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，
∴∠BA₁A=$\frac{180°-∠B}{2}$=$\frac{180°-20°}{2}$=80°，
∵A₁A₂=A₁C，∠BA₁A是△A₁A₂C的外角，
∴∠CA₂A₁=$\frac{1}{2}$∠BA₁A=$\frac{1}{2}$×80°=40°；
同理可得，
∠DA₃A₂=20°，∠EA₄A₃=10°，
∴第n个三角形的以A_n为顶点的底角的度数=$\frac{80°}{{2}^{n-1}}$．
故答案为；20°，$\frac{80°}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA₂A₁，∠DA₃A₂及∠EA₄A₃的度数，进而找出规律是解答此题的关键．