Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：点D在⊙O上；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵△ADE是直角三角形，OA=OE，

∴OD=OA=OE，

∴点D在⊙O上

（2）

证明：∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠CAD=∠DAB，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠C=∠ODB=90°，

∴BC是⊙O的切线

（3）

解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，

∴根据勾股定理得：AB=10，

设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x，

∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，

∴ ，∴ ，

解得：x= ，

∴OD= ，BE=10﹣2x=10﹣ = ，

∵ ，即 ，

∴BD=5，

过E作EH⊥BD，

∵EH∥OD，

∴△BEH∽△BOD，

∴ ，

∴EH= ，

∴S△BDE= BDEH= ．

【解析】（1）连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O的切线；（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE的长，进而确定出BD的长，再由△BEH与△ODB相似，由相似得比例求出EH的长，△BED以BD为底，EH为高，求出面积即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)的相关知识才是答题的关键．