Question

【题目】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，∠BAC=∠CAD，P是线段CD延长线上一点，且∠PAD=∠ABD．

（1）请判断△BCD的形状（不要求证明）；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）求证：AP2﹣DP2=DPBC．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠BAC=∠CAD，

∴ ，

∴∠BDC=∠CBD，

∴△BCD是等腰三角形

（2）

证明：连接OA、OD，

则∠AOD=180°﹣2∠OAD，

∵∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，

∴∠PAD=90°﹣∠OAD，

∴∠PAD+∠OAD=90°，

∴OA⊥AP，

∴PA是⊙O的切线．

（3）

证明：∵PA是⊙O的切线，

∴AP2=PD×PC，

∴AP2﹣DP2=PD×PC﹣DP2=DP（PC﹣DP）=DP×CD，

又∵BC=CD，

∴AP2﹣DP2=DPBC．

【解析】（1）由圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，再由∠BAC=∠CAD，可判断△BCD的形状；（2）连接OA、OD，则可得∠AOD=180°﹣2∠OAD，再由∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，可得∠PAD=90°﹣∠OAD，从而可得OA⊥AP，判断出结论．（3）应用切割线定理可得AP2=PD×PC，然后提取公因式DP后，可得出等式．