【题目】如图,已知拋物线(k为常数,且k>0)与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,经过点B的直线
与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为x= -4,求这个一次函数与抛物线的解析式;
(2)若直线m平行于该抛物线的对称轴,并且可以在线段AB间左右移动,它与直线BD和抛物线分别交于点E、F,求当m移动到什么位置时,EF的值最大,最大值是多少?
(3)问原抛物线在第一象限是否存在点P,使得△APB∽△ABC?若存在,请求出这时k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2) 最大值是4(3)存在
【解析】分析:(1)先解方程k(x+2)(x﹣4)=0可得A(﹣2,0),B(4,0),再把B点坐标代入y=﹣x+b中求出得b=2,则可得到一次函数解析式为y=﹣
x+2,接着利用一次函数解析式确定D点坐标,然后把D点坐标代入代入y=k(x+2)(x﹣4)中求出k的值即可得到得抛物线解析式;
(2)利用二次函数和一次函数图象上点的坐标特征,可设F(t,t2﹣
t﹣2),则E(t,﹣
t+2),﹣2≤t≤4,于是得到EF=﹣
t+2﹣(
t2﹣
t﹣2)=﹣
t2+4,然后根据二次函数的性质求解;
(3)作PH⊥x轴于H,如图,先表示出C点坐标为(0,﹣8k),设P[n,k(n+2)(n﹣4)],根据相似三角形的判定方法,当∠PAB=∠CAB,AP:AB=AB:AC时,△APB∽△ABC;再根据正切定义.在Rt△APH中有tan∠PAH=.在Rt△OAC中有tan∠OAC=
=4k,则
=4k,解得n=8,于是得到P(8,40k),接着利用勾股定理计算出AP=10
,AC=2
,然后利用AP:AB=AB:AC得到10
2
=62,解得k1=
,k2=﹣
(舍去),于是可确定P点坐标.
详解:(1)当y=0时,k(x+2)(x﹣4)=0,解得:x1=﹣2,x2=4,则A(﹣2,0),B(4,0),把B(4,0)代入y=﹣x+b得:﹣2+b=0,解得:b=2,所以一次函数解析式为y=﹣
x+2,当x=﹣4时,y=﹣
x+2=4,则D点坐标为(4,4),把D(﹣4,4)代入y=k(x+2)(x﹣4)得:k(﹣2)(﹣8)=4,解得:k=
,所以抛物线解析式为y=
(x+2)(x﹣4),即y=
x2﹣
x﹣2;
(2)设F(t,t2﹣
t﹣2),则E(t,﹣
t+2),﹣2≤t≤4,所以EF=﹣
t+2﹣(
t2﹣
t﹣2)=﹣
t2+4,所以当t=
(3)存在.
作PH⊥x轴于H,如图,当x=0时,y=k(x+2)(x﹣4)=﹣8k,则C(0,﹣8k),设P[n,k(n+2)(n﹣4)],当∠PAB=∠CAB,AP:AB=AB:AC时,△APB∽△ABC;
在Rt△APH中,tan∠PAH=.在Rt△OAC中,tan∠OAC=
=4k,∴
=4k,解得:n=8,则P(8,40k),∴AP=
=
=10
,而AC=
=
=2
.∵AP:AB=AB:AC,∴APAC=AB2,即10
2
=62,∴5(16k2+1)=9,解得:k1=
,k2=﹣
(舍去),∴k=4
,P点坐标为(8,4
).
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】张老师打算在小明和小白两位同学之间选一位同学参加数学竞赛,他收集了小明、小白近期10次数学考试成绩,并绘制了折线统计图(如图所示)
项目 | 众数 | 中位数 | 平均数 | 方差 | 最高分 |
小明 | 85 | 85 | |||
小白 | 70,100 | 85 | 100 |
(1)根据折线统计图,张老师绘制了不完整的统计表,请你补充完整统计表;
(2)你认为张老师会选择哪位同学参加比赛?并说明你的理由
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【题目】拋物线的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①
;②当x>-l时,y随x增大而减小;③a+b+c<0;④若方程
没有实数根,则m>2. 其中正确的结论有________________.
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【题目】如图,大楼底右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上). 已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离.(结果精确到0.1m)
(参考数据: ,
)
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【题目】小亮家与姥姥家相距24km. 小亮8:00从家出发,骑自行车去姥姥家,妈妈8:30从家出发,乘车沿相同路线去姥姥家. 在同一直角坐标系中,小亮和妈妈的行进路程S(km)与北京时间t(时)的函数图象如图所示. 根据图象得到下列结论,其中错误的是( )
A. 小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B. 妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C. 妈妈在距家12km处追上小亮
D. 9:30妈妈追上小亮
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【题目】依法纳税是每个公民应尽的义务.新税法规定:居民个人的综合所得,以每一纳税月收入减去费用5000元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其它扣除后的余额,为个人应纳税所得额.已知李先生某月的个人应纳税所得额比张先生的多1500元,个人所得税税率相同情况下,李先生的个人所得税税额为76.5元,而张先生的个人所得税税额为31.5元.求李先生和张先生应纳税所得额分别为多少元?
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【题目】如图,,
,点B在x轴上,且
.
求点B的坐标;
求
的面积;
在y轴上是否存在P,使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】阅读材料:在数轴上点、
分别表示数
、
,则
、
两点之间的距离
.
请回答下列问题:
()数轴上表示
和
的两点之间的距离是__________.数轴上表示数
和
的两点之间的距离表示为__________.数轴上表示数__________和__________的两点之间的距离表示为
.
()七年级研究性学习小组在数学老师指导下,对式子进行探究:
.
①当表示数的点在
与
之间移动时,
的值总是一个固定的值为:__________.(直接写出结果)
②要使,数轴上满足条件的点表示的数字是:__________(直接写出结果).
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