Question

2．以A为顶角顶点的等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，D在BC边上，E在AB边上，F为线段AD上一点，连接FC，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠FCA．
（1）如图1，若AB=$\sqrt{6}$，∠BAC=30°，求S_△ABC；
（2）如图1，求证：FA=FC；
（3）如图2，延长CF交AB于G，延长AB到M使GM=AC，连接CM，∠BAD=∠BCG，N是GC的中点，探究AN与CM之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）要求△ABC的面积，作AC边上的高即可．
（2）欲证明AF=FC，只要证明∠CAD=∠ACF，根据等腰三角形性质，以及三角形外角的性质定理结合已知条件即可证明．
（3）延长CA至点H，构造△CAH≌△CBM，再证明AN是△GCH的中位线即可．

解答 解：（1）如图1中，作BK⊥AC垂足为K．
在RT△ABK中，∵AB=$\sqrt{6}$，∠BAK=30°，
∴BK=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵AB=AC=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BK=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{6}$=$\frac{3}{2}$．
（2）如图1中，∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CAD+∠ACD=∠ADE+∠EDB，∠EDB+∠ABD=∠AED，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠CAD+∠ACD=∠EDB+∠ABD+∠EDB，
∴∠CAD=2∠EDB，
∵∠ACF=2∠EDB，
∴∠CAD=∠ACF，
∴FA=FC．
（3）如图2延长GA至点H，使AG=AH，连接BH，
∵点N是CG的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$CH，
∵∠CAD=∠ACF（2）中已证明，∠DAC=∠CBG，
∴∠CAB=∠BCA，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∠BAC=∠CBA=60°，
∴∠CAH=∠CBM=120°，
∵GM=AC，AC=AB，
∴BM=AG，
∴AH=BM，
在△CAH和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAH=∠CBM}\\{AH=BM}\end{array}\right.$，
∴△CAH≌△CBM（SAS），
∴CH=CM，
∴AN=$\frac{1}{2}$CM．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，借助于三角形中位线定理解决问题．