Question

17．已知关于x的一元二次方程x²-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；
（2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．

解答 （1）证明：△=（k+3）²-4×3k=（k-3）²≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，
则（k-3）²=0，
解得k=3，
方程为x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3，
故△ABC的周长为：2+3+3=8；
当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，
方程为x²-5x+6=0，
解得，x₁=2，x₂=3，
故△ABC的周长为：2+2+3=7．

点评 本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．