Question

在边长为4的正方形ABCD的对角线BD上有一点P，连接CP，过点P作CP的垂线交直线AD于点Q，若CP=

10

，则AQ=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：分类讨论

分析：分两种情况：①当点Q落在线段AD上时，②当点Q落在Q点将落在AD之外，首先利用勾股定理求出RC的长再分别利用△CPR≌△PQN求出NQ，即可得出AQ的长．

解答：解：如图1，点Q落在线段AD上

过P点作BC垂线交BC与R，与AD交于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∴BR=PR，设RC=x，则PR=4-x，
∴PC²-RC²=PR²，即10-x²=（4-x）²解得x=1或3，
当x=3时，点Q落在线段AD上
∵PQ⊥PC，
∴∠NPQ+∠CPR=90°，
∵∠NPQ+∠PQN=90°，
∴∠CPR=∠PQN，
RC=NP=3，
在△CPR和△PQN中，

∠CPR=∠PQN ∠PRC=∠QNP RC=NP

，
∴△CPR≌△PQN（AAS）
∴NQ=RP=1，
∴AQ=2，
当x=1，Q点将落在AD之外，

∵RC=1，
∴RP=4-1=3，
∴NC=RC=1，
∵PQ⊥PC，
∴∠NPQ+∠CPR=90°，
∵∠NPQ+∠PQN=90°，
∴∠CPR=∠PQN，
在△CPR和△PQN中，

∠CPR=∠PQN ∠PRC=∠QNP RC=NP

，
∴△CPR≌△PQN（AAS）
∴NQ=RP=3，
∴AQ=AN+NQ=3+3=6，
∴AQ=2或6．
故答案为：2或6．

点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是合理作出辅助线，利用三角形全等求出对应线段的长．