Question

把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处（不与A、B重合），点D落在D′处，此时，C′D′交AD于E，折痕为MN．
（1）如果AB=1，BC=

4

3

，当点C′在什么位置时，可使△NBC′≌△C′AE？
（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′还存在吗？若存在，请求出C′的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=1-x，于是NC=BC-BN=

1

3

+x，再由折叠的性质得到NC′=NC=

1

3

+x，然后在Rt△BNC′中利用勾股定理列出方程（

1

3

+x）²=x²+（1-x）²，解方程即可；
（2）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=AB-BC′=1-x，验算NC=BC-BN=x，再由折叠的性质得到NC′=NC=x，然后在Rt△BNC′中根据斜边最长得出NC′＞BC′，这与NC′=BC′=x矛盾，于是得出结论：如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

解答：解：（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=

4

3

-（1-x）=

1

3

+x．
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=

1

3

+x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′²=BC′²+BN²，
∴（

1

3

+x）²=x²+（1-x）²，
解得x=

4±2 2

3

，
∵

4+2 2

3

＞2＞AB，
∴x=

4+2 2

3

不合题意舍去，
∴x=

4-2 2

3

，
即当点C′在AB上距离点B

4-2 2

3

个单位时，可使△NBC′≌△C′AE；

（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．理由如下：
设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=1-（1-x）=x．
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′＞BC′，
而NC′=BC′=x，
∴如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了直角三角形的性质及一元二次方程的解法．