Question

如图，直线y=2x-4分别交x轴、y轴于B、A两点，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于点C，且S_△AOC=8．M是射线BA上一点，将线段BM绕B点逆时针旋转135°，M落在双曲线上的点N处，求线段BM的长度．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：作BD⊥OC于D，NE⊥x轴于E，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征确定A（0，-4），B（2，0），设C点坐标为（m，2m-4），利用三角形面积公式得

1

2

×4×m=8，解得m=4，则C点坐标为（4，4），根据C点坐标可确定反比例函数解析式为y=

16

x

，且∠BOC=45°，OC=4

2

；设BE=t，则OE=t+2，利用反比例函数图形上点的坐标特征得N点坐标表示为（t+2，

16

t+2

），即NE=

16

t+2

，然后在Rt△OBD中根据等腰直角三角形的性质计算出OD=BD=

2

2

OB=

2

，则CD=3

2

；接着根据旋转的性质得∠MBN=135°，BN=BM，则∠CBN=45°，根据三角形外角性质易得∠1=∠2，于是可证明Rt△BEN∽Rt△CDB，利用相似比计算出t=6，则BE=6，NE=2，最后在Rt△BEN中，根据勾股定理可计算出BN=2

10

，即有BM=2

10

．

解答：解：作BD⊥OC于D，NE⊥x轴于E，如图，
把x=0代入y=2x-4得y=4，
则A点坐标为（0，-4）；
把y=0代入y=2x-4得2x-4=0，解得x=2，
则B点坐标为（2，0），
设C点坐标为（m，2m-4），
∵S_△AOC=8，
∴

1

2

×4×m=8，解得m=4，
∴C点坐标为（4，4），
∴k=4×4=16，即反比例函数解析式为y=

16

x

，∠BOC=45°，OC=4

2

，
设BE=t，则OE=t+2，则N点坐标表示为（t+2，

16

t+2

），即NE=

16

t+2

，
在Rt△OBD中，∵OB=2，∠BOD=45°，
∴OD=BD=

2

2

OB=

2

，
∴CD=OC-OD=3

2

，
∵线段BM绕B点逆时针旋转135°，M落在双曲线上的点N处，
∴∠MBN=135°，BN=BM，
∴∠CBN=45°，
∵∠CBN+∠1=∠BOC+∠2，
∴∠1=∠2，
∴Rt△BEN∽Rt△CDB，
∴

NE

BD

=

BE

CD

，即

16 t+2

2

=

t

3 2

，
整理得t²+2t-48=0，
解得t₁=-8（舍去），t₂=6，
∴BE=6，NE=

16

2+6

=2，
在Rt△BEN中，BN=

BE2+NE2

=2

10

，
∴BM=2

10

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质．