Question

9．在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，且两弦在圆心O的异侧，若AB=24，则CD的长为2$\sqrt{165}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，由弦AB和CD的距离为7，得EF=7，根据垂径定理得：ED=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×24=12，先利用勾股定理求OF的长，则OE=2，所以得ED的长，即得出CD的长．

解答 解：过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，连接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×24=12，
∵⊙O的半径为13，
∴OD=OB=13，
在Rt△OFB中，OF=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∵EF=7，
∴OE=7-5=2，
∴ED=$\sqrt{1{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{165}$，
∴CD=2ED=2$\sqrt{165}$．

点评 本题考查了垂径定理和两平行线的距离，作弦心距和连接半径是圆中常作的辅助线，构建直角三角形利用勾股定理求边长；本题有“两弦在圆心O的异侧“这一条件，如果没有这一条件要分两种情况进行讨论．