Question

【题目】（1）在一节数学探究课上，学生们发现了一个规律：

如图①，当四边形是矩形时，的直角顶点M在边上运动，直角边分别与线段、线段交于E、F两点，在点M运动的过程中，始终存在着.于是又有同学提出了问题，如果将四边形换成三角形时，是否仍存在同样的规律呢？如图②，在中，，点D为边上的动点，过点D作，交于点E，交于点F，请问是否存在两个相似的三角形，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；

（2）结合上述规律，解决下列问题：

如图③，在中，，，点P为上一点（不与B、C重合），过点P作于点E，交于点F，若为等腰三角形，求的长.

Answer 1

【答案】（1）存在两个相似的三角形，，证明详见解析；（2）的长为或或2.

【解析】

（1）由，，，得，从而证明与相似；

（2）先证，当为等腰三角形时，分和三种情况讨论，分别求得的长，即可.

（1）存在两个相似的三角形，，理由如下：

在和中，

∵，

，

∴.

又∵，

∴.

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

∴

又∵，

∴，

∴.

∵为等腰三角形，设，可分以下三种情况讨论：

①当时，则，

∴，如图①，过点A作交于点G，

∵，，

∴，

∴，解得：；

②当时，如图②，过点A作于点G，过点E作交于点H，则.

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，.

∴，解得：；

③当时，如图③，过点F作交于点M，

，

，

∴，解得：.

综上所述，的长为或或2.