Question

【题目】如图，已知矩形ABCD的周长为44cm，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC.

(1)若AF=6cm，求FC的长．

(2)连接BE，求证：BE平分∠ABC.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据矩形的性质易证△AEF≌△DCE (AAS)，得到AE=DC，AF=DE，结合周长可求出AE，然后利用勾股定理求EF和FC即可；

（2）由（1）可得AE=AB，求出∠ABE＝45°即可证明结论.

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠DCB=∠A=∠D=90°，AB=DC，

∴∠AEF＋∠AFE＝90°，

∵EF⊥EC，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，

∴∠AFE=∠DEC．

在△AEF和△DCE中，，

∴△AEF≌△DCE (AAS)．

∴AE=DC，AF=DE=6cm.

∵矩形ABCD的周长为44cm，

∴AD+DC=22cm.

∴AE+ED+DC=22cm.

∴2AE+AF=22cm.

∴2AE+6cm =22cm.

解得AE=8 cm.

在Rt△AEF中，FE=，

∴EF=EC=10.

在Rt△EFC中，FC=；

(2)由(1)得AE=DC，

∴AE=AB，

∴∠ABE＝∠EBC＝45°.

∴AE平分∠ABC.