【题目】如图,在ABC中,已知AB=BC=10,AC=4,AD为边BC上的高线,P为边AD上一点,连结BP,E为线段BP上一点,过D、P、E三点的圆交边BC于F,连结EF.
(1)求AD的长;
(2)求证:△BEF∽△BDP;
(3)连结DE,若DP=3,当△DEP为等腰三角形时,求BF的长;
(4)把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP,若G落在边AC上,且DG∥BP,记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3,则S1:S2:S3的值为 .
【答案】(1)AD=8,见解析;(2)△BEF∽△BDP,见解析;(3)BF的长为、、,见解析;(4)S1:S2:S3=3:3:2,见解析.
【解析】
(1)设CD=x,则BD=10-x,在Rt△ABD和Rt△ACD中利用勾股定理列方程即可求出x,进而求出AD,
(2)由圆内接四边形性质可知∠BFE=∠BPD,即可证明△BEF∽△BDP
(3)因为DP=3,由②BP=3,可得分三种情况PE=DP、DE=PE、DP=DE利用直角三角形和等腰三角形性质先求出EB,再根据即可求解;
(4)连接EG交PD于M点,DG∥BP和折叠的性质可得∠EPD=∠EDF=∠PDG,EP=PG=ED=DG,即可得出E是BP中点,进而求出,由,即可求出PM=2,PD=4,AP=4,再利用三角形面积求法即可解答.
解:(1)设CD=x,则BD=10﹣x,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,
依题意得:,
解得x=6,
∴AD==8.
(2)∵四边形BFEP是圆内接四边形,
∴∠EFB=∠DPB,
又∵∠FBE=∠PDB,
∴△BEF∽△BDP.
(3)由(1)得BD=6,
∵PD=3,
∴BP==,
∴cos∠PBD=,
当△DEP为等腰三角形时,有三种情况:
Ⅰ.当PE=DP=3 时,BE=BP﹣EP=,
Ⅱ.当DE=PE时,E是BP中点,BE=,
Ⅲ.当DP=DE=3时,PE=2×PDcos∠BPD==,
若DP=3,当△DEP为等腰三角形时,BF的长为、、.
(4)连接EG交PD于M点,
∵DG∥BP
∴∠EPD=∠EDF=∠PDG,
∴PG=DG,
∵EP=PG,ED=DG,
∴四边形PEDG是菱形,
∴EM=MG,PM=DM,EG⊥AD,
又∵BD⊥AD,
∴EG∥BC,
∴EM=BD=3=MG,,
∴,
∴AM=6,
∴DM=PM=2,
∴PD=4,AP=4,
∴S△APG==×4×3=6,
S△PDG==×4×3=6,
S△GDC===4.
∴S1:S2:S3=6:6:2=3:3:2.
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【题目】某市甲、乙、丙三个景区是人们节假日游玩的热点景区,某学校对九(5)班学生“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查,调查分四个类别A:游三个景区:B:游两个景区;C:游一个景区:D:不到这三个景区游玩,现根据调查结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图如下:
请结合图中信息解答下列问题:
(1)九(5)班现有学生人,并补全条形统计图;
(2)求在扇形统计图中表示“B类别”的扇形的圆心角的度数;
(3)根据调查显示,小刘和小何都选择“C类别”,求他俩游玩的恰好是同一景区的概率.
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【题目】如图,在正方形OABC中,点B的坐标是(4,4),点E、F分别在边BC、BA上,OE=2.若∠EOF=45°,则F点的纵坐标是( )
A.1B.C.D.﹣1
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【题目】图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子,每个面上分别标有数字1,2,3,4,图②是一个正六边形棋盘,现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏,规则是:将这枚骰子掷出后,看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几,就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点,第二次从第一次的终点处开始,按第一次的方法跳动.
(1)随机掷一次骰子,则棋子跳动到点C处的概率是
(2)随机掷两次骰子,用画树状图或列表的方法,求棋子最终跳动到点C处的概率.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E是对角线BD上的一点,连结AE,过点E作EF垂直AE交BC于点F,连结AF,交对角线BD于G.若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3:8,则cos∠GEF=_____.
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【题目】如图,已知菱形ABCD,点E是AB的中点,AF⊥BC于点F,联结EF、ED、DF,DE交AF于点G,且AE2=EGED.
(1)求证:DE⊥EF;
(2)求证:BC2=2DFBF.
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【题目】在△ABC中,∠ABC为锐角,点M为射线AB上一动点,连接CM,以点C为直角顶点,以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN,连接NB.
(1)如图1,图2,若△ABC为等腰直角三角形,
问题初现:①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,则线段BN,AM之间的位置关系是 ,数量关系是 ;
深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时,判断线段BN,AM之间的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图3,∠ACB≠90°,若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,MP⊥CM交线段BN于点P,且∠CBA=45°,BC=,当BM= 时,BP的最大值为 .
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【题目】如图,光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌,点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点(A,B,D,E在同一直线上),小红同学在距E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°,同时测得教学楼外墙外点D的仰角为30°,从点C沿坡度为1∶的斜坡向上走到点F时,DF正好与水平线CE平行.
(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);
(2)若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求出宣传牌AB的高度(结果精确到0.01).(注:sin67°≈0.92,tan67°≈2.36,≈1.41,≈1.73)
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【题目】已知:如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点O关于直线AD的对称点是E,连接AE、DE.
(1)试判断四边形AODE的形状,不必说明理由;
(2)请你连接EB、EC,并证明EB=EC.
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