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【题目】如图,在ABC中,已知ABBC10AC4AD为边BC上的高线,P为边AD上一点,连结BPE为线段BP上一点,过DPE三点的圆交边BCF,连结EF

1)求AD的长;

2)求证:△BEF∽△BDP

3)连结DE,若DP3,当△DEP为等腰三角形时,求BF的长;

4)把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP,若G落在边AC上,且DGBP,记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1S2S3,则S1S2S3的值为   

【答案】1AD8,见解析;(2BEF∽△BDP,见解析;(3BF的长为,见解析;(4S1S2S3332,见解析.

【解析】

1)设CD=x,则BD=10-x,在RtABDRtACD中利用勾股定理列方程即可求出x,进而求出AD
2)由圆内接四边形性质可知∠BFE=BPD,即可证明BEF∽△BDP
3)因为DP=3,由②BP=3,可得分三种情况PE=DPDE=PEDP=DE利用直角三角形和等腰三角形性质先求出EB,再根据即可求解;

4)连接EGPDM点,DGBP和折叠的性质可得∠EPD=EDF=PDGEP=PG=ED=DG,即可得出EBP中点,进而求出,由,即可求出PM=2PD=4AP=4,再利用三角形面积求法即可解答.

解:(1)设CDx,则BD10x

RtABDRtACD中,AD2AB2BD2AC2CD2

依题意得:

解得x6

AD8

2)∵四边形BFEP是圆内接四边形,

∴∠EFB=∠DPB

又∵∠FBE=∠PDB

∴△BEF∽△BDP

3)由(1)得BD6

PD3

BP

cosPBD

DEP为等腰三角形时,有三种情况:

.当PEDP3 时,BEBPEP

.当DEPE时,EBP中点,BE

.当DPDE3时,PE2×PDcosBPD

DP3,当DEP为等腰三角形时,BF的长为

4)连接EGPDM点,

DGBP

∴∠EPD=∠EDFPDG

PGDG

EPPGEDDG

∴四边形PEDG是菱形,

EMMGPMDMEGAD

又∵BDAD

EGBC

EMBD3MG,,

AM6

DMPM2

PD4AP4

SAPG×4×36

SPDG×4×36

SGDC4

S1S2S3662332

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