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【题目】如图,菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,∠EGF=60°, ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动,角的两边分别交边BC、CD于E、F.

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(1)如图甲,当顶点G运动到与点A重合时,求证:EC+CF=BC;

(2)知识探究:

①如图乙,当顶点G运动到AC的中点时,请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系(不需要写出证明过程);

②如图丙,在顶点G运动的过程中,若,探究线段EC、CF与BC的数量关系;

(3)问题解决:如图丙,已知菱形的边长为8,BG=7,CF=,当>2时,求EC的长度。

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【答案】(1)证明见解析(2)①线段EC,CFBC的数量关系为:CE+CF=BC.②CE+CF=BC(3)

【解析】分析:(1)利用包含60°角的菱形,证明BAE≌△CAF可求证.(2)由特殊到一般,证明CAE′∽△CAE从而可以得到ECCFBC的数量关系.(3) 连接BDAC交于点H,利用三角函数BH ,AH,CH的长度,最后求BC长度.

详解:

(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,

∴∠BAC=60°,∠B=∠ACF=60°,AB=BCAB=AC

∵∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°,

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∴∠BAE=∠CAF

在△BAE和△CAF中,

,

∴△BAE≌△CAF

BE=CF

ECCF=ECBE=BC

ECCF=BC

(2)知识探究:

①线段ECCFBC的数量关系为:CECFBC.

CECFBC.

理由如下:

过点AAE′EGAF′GF,分别交BC、CDE′、F′.

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类比(1)可得:E′CCF′BC

AE′EG,∴△CAE′∽△CAE

,∴CECE′,

同理可得:CFCF′,

CECFCE′CF′CE′CF′)=BC

CECFBC

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(3)连接BDAC交于点H,如图所示:

Rt△ABH中,∵AB=8,∠BAC=60°,

BH=ABsin60°=8×

AH=CH=ABcos60°=8×=4,

GH=1,

CG=4-1=3,

tt>2),

由(2)②得:CECFBC

CEBCCF×8-.

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,……

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