Question

10．平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：
第一步，作点A关于x轴的对称点A₁，延长线段AA₁到点A₂，使得2A₁A₂=AA₁；
第二步，作点A₂关于y轴的对称点A₃，延长线段A₂A₃到点A₄，使得2A₃A₄=A₂A₃；
第三步，作点A₄关于x轴的对称点A₅，延长线段A₄A₅到点A₆，使得2A₅A₆=A₄A₅；
…
则点A₂的坐标为（1，-2），点A₂₀₁₅的坐标为（2⁵⁰³，2⁵⁰⁴）．
若点A_n的坐标恰好为（4^m，4ⁿ）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式m=n．

Answer 1

分析 根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得A₁，根据2A₁A₂=AA₁，可得A₁是AA₂的中点，可得答案；
根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得A₃，根据计算，可发现规律：每8次变换一循环：第m循环组：（2^2m-2，-2^2m-2）（2^2m-2，-2^2m-1），（-2^2m-2，-2^2m-1）（-2^2m-1，-2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m）倒数第二个是（2^2m-1，2^2m），最后一个是（2^2m，2^2m）．

解答 解：由题意得，A₁（1，-1），A₂（1，-2），
A₃（-1，-2），A₄（-2，-2），
A₅（-2，2），A₆（-2，4），
A₇（2，4），A₈（4，4），
∵2015÷8=251余7，
∴点A₂₀₁₅为第252循环组的第一象限的倒数第二个点，
∴A₂₀₁₅（2⁵⁰³，2⁵⁰⁴），
点A_n的坐标恰好为（4^m，4ⁿ）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式m=n．
故答案为：（1，-2）；（2⁵⁰³，2⁵⁰⁴），m=n．

点评 本题考查了坐标与图形变化，利用坐标变化规律：第m循环组：（2^2m-2，-2^2m-2）（2^2m-2，-2^2m-1），（-2^2m-2，-2^2m-1）（-2^2m-1，-2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m）倒数第而个是（2^2m-1，2^2m），最后一个是（2^2m，2^2m）是解题关键．